Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом или фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи называют сторонами угла, а общее начало — вершиной угла.
Помним, что на рисунке стороны угла выглядят отрезками, но это лучи, каждый из которых распространянтся бесконечно в одну сторону.
Обозначения угла: ∠O, где О — вершина угла или ∠AOB или ∠BOA, где вершина угла указывается в середине записи.
Стороны угла принадлежат углу, т.е. точка, лежащая на стороне угла , принадлежит углу. Точки угла, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними точками — . Лучи, исходящие из вершины данного угла и проходящие через его внутренние точки, называются внутренними лучами — луч ОМ, луч h.
Стороны угла разделяют плоскость, в которой лежит угол на две части: внутреннюю область угла и внешнюю область угла. Внутренней областью угла обычно называют ту часть, в которую целиком помещается отрезок прямой, соединяющей две любые точки, взятые на сторонах угла — выпуклый угол ( зеленая область на рис.) Эта область угла меньше развернутого угла (180°). Другая область, которая больше развернутого угла, — невыпуклый угол (на рис. закрашен желтым) . Если в качестве внутренней области угла считают невыпуклую область (желтую на рис.), то об этом сообщается.
Множество всех точек плоскости, лежащих между сторонами угла, образует внутреннюю область угла. Оставшаяся часть плоскости называется внешней областью угла.
Хорда угла — это отрезок, соединяющий две точки на разных сторонах угла, не совпадающие с вершиной угла.
Виды углов.
Развернутый угол
Развернутый угол — угол в ½ полного оборота = π = 2d = 180º, его стороны образуют одну прямую.
Развернутый угол — это полуплоскость, на границе которой отмечена точка — вершина угла.
Развернутый угол — угол, стороны которого являются дополнительными лучами (взаимно противоположными лучами). Эти лучи выходят из одной точки, лежат на одной прямой и не совпадают, т.к. противоположно направлены.
Стороны развернутого угла образуют прямую.
Стороны развернутого угла делят плоскость на две полуплоскости. Одну полуплоскость можно рассматривать как внутреннюю область угла, а другую — как внешнюю.
Если угол развернутый, то любой луч, исходящий из вершины угла и не совпадающий с его сторонами, делит этот угол на два угла.
Стороны развернутого угла образуют пару вертикальных развернутых углов, каждый из которых равен 180° или π радиан.
Если стороны угла не составляют прямую, то такой угол называют неразвёрнутым. Такой угол может быть меньше развернутого (< 180°), или быть больше развернутого (> 180°).
Полный угол.
Полный угол — угол в 360º = 2π = 4d.
Угол называют полным, если он содержит внутренние точки, а его стороны совпадают.
Если из точки О провести любое количество лучей, образующих углы с общей вершиной О, то сумма всех углов, примыкающих друг к другу, составит 360° — полный угол :
∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOA = 360°.
Прямой угол
Прямой угол — угол в ¼ полного оборота = π/2=в=90º
Прямой угол — это половина развернутого угла.
Это угол, равный своему смежному углу.
Величина прямого угла равна 90° или π⁄2 радиан.
Все прямые углы равны друг другу.
Прямые, образующие прямой угол, называются перпендикулярными.
Острый угол
Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, α < 90°.
Тупой угол
Тупой угол — угол, который больше прямого угла, но меньше развернутого угла: 90°< α <180°
Дополнительные углы.
Дополнительные углы — углы, в сумме равные прямому.
Смежные углы.
Два угла называют смежными, если вершина и одна сторона у них общая, а две другие стороны составляют прямую, т.е. составляют продолжение друг друга (являются дополнительными лучами).
Сумма (объединение ) двух смежных углов образует развернутый угол и равна 180°.
Сумма двух прямых углов (прямой угол равен 90°) равна 180°, следовательно сумма двух смежных углов равна сумме двух прямых углов.
Угол, смежный с прямым углом, также является прямым. Если смежные углы равны, то они — прямые.
Если один из смежных углов — острый, то другой — тупой, и наоборот, если один смежный угол — тупой, то другой — острый.
Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°.
Для каждого угла можно построить два смежных с ним угла, продолжив стороны угла. Два угла ∠BOD и ∠АOC, смежные с одним и тем же углом ∠AOB, равны между собой, так как каждый дополняет угол ∠AOB до 180°.
∠BOD = ∠АOC, ∠AOB + ∠BOD = ∠AOB + ∠АOC = 180°.
Если два угла (∠AOB и ∠BOD) имеют общую вершину (О) и общую сторону (OB) и в сумме составляют 180°, то эти углы — смежные, их стороны (AO и OD) составляют продолжение одна другой.
Если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Если ∠AOB прямой (∠AOB = 90°), то ∠BOD и ∠АOC тоже прямые: 180° — 90° = ∠BOD, 180° — 90° = ∠АOC.
Обратите внимание, что
если углы имеют смежную сторону, то они не являются смежными, если их другие стороны не образуют прямую: ∠BOA и ∠AOC; ∠AOC и ∠COD;
если стороны двух углов составляют прямую, но у них нет смежной стороны, то они не являются смежными: ∠BOA и ∠COD.
Вертикальные углы
Образуются при пересечении двух прямых и не имеющие общих сторон. Углы называются вертикальными или противоположными, если стороны одного угла составляют продолжение сторон другого (являются дополнительными лучами сторон другого угла).
Углы 1 и 3 — вертикальные, углы 2 и 4 — вертикальные.
∠1 = ∠3, т.к. ∠1 и ∠3 образуются вычитанием смежного с каждым из них ∠4 из развернутого угла 180°. Аналогично для углов ∠2 = ∠4.
Два вертикальных угла равны между собой.
Углы, имеющие общую вершину.
Если сумма нескольких углов, имеющих общую вершину, составляет развернутый угол, то она равна 180°.
Если сумма нескольких углов, имеющих общую вершину, составляет полный угол, то он равна 360°.
Если два угла, имеют общую вершину и общую сторону и в сумме составляют 180°, то эти углы — смежные.
Угол между пересекающимися прямыми
При пересечении прямых образуются 4 угла:
две пары вертикальных (противоположных) углов плюс 2 пары развернутых вертикальных углов:
∠1 и ∠3 — вертикальные, ∠1 = ∠3;
∠2 и ∠4 — вертикальные, ∠2 = ∠4;
2 пары развернутых вертикальных углов: ∠1+∠2 и ∠4+∠3 — развернутые вертикальные углы, ∠1+∠2 = ∠4+∠3; ∠1+∠4 и ∠2+∠3 — развернутые вертикальные углы, ∠1+∠4 = ∠2+∠3.
Углы, полученные при пересечении прямых, являются не только вертикальными, но и смежными. Всего образовано четыре пары смежных углов: :
∠1 = ∠2, ∠1 + ∠2 = 180°;
∠3 = ∠4, ∠3 + ∠4 = 180°;
∠2 = ∠3, ∠2 + ∠3 = 180°;
∠1 = ∠4, ∠1 + ∠4 = 180°.
Угол между пересекающимися прямыми — наименьший из углов, образованный лучами, на которые делятся данные прямые точкой пересечения.
Этот угол может быть лишь острым или прямым.
Если образованные при пересечении прямых смежные углы не равны, то общая сторона двух смежных углов называется наклоннойк прямой. Точка О тогда называется основанием наклонной.
Две прямые называются взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямыми углами (= 90°): AC⊥BD. Общая сторона прямых углов называется перпендикуляром к прямой, например, ОА — перпендикуляр к прямой BD. Точка О — основание перпендикуляра.
Углы при параллельных прямых
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной п
Углы при параллельных прямых — углы, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых a, b третьей (секущей) прямой c.
Образуется 8 углов.
Соответственные или соответствующие углы (4 пары углов): ∠7 и ∠3, ∠7 = ∠3; ∠6 и ∠2, ∠6 =∠2; ∠8 и ∠4, ∠8 = ∠4; ∠5 и ∠1, ∠5 = ∠1. Каждые два соответственных угла равны.
Внутренние накрестлежащие (2 пары): ∠6 и ∠4, ∠6 = ∠4; ∠5 и ∠3, ∠5 = ∠3. Каждые два накрестлежащие углв равны.
Внешние накрестлежащие (2 пары): ∠1 и ∠7, ∠1 = ∠7; ∠2 и ∠8, ∠2 = ∠8. Каждые два накрестлежащие углв равны.
Внутренние односторонние углы (2 пары): ∠6 и ∠3, ∠6 + ∠3 = 180°; ∠5 и ∠4, ∠5 + ∠4 = 180°. Каждая пара односторонних углов равна в сумме 180º.
Внешние односторонние углы (2 пары): ∠8 и ∠1, ∠8 + ∠1 = 180°; ∠7 и ∠2, ∠7 + ∠2 = 180°. Каждая пара односторонних углов равна в сумме 180º.
Признаки параллельности прямых.
Прямые a и b параллельны тогда и только тогда, когда они образуют с секущей с:
равные между собой внутренние или внешние накрест лежащие углы:
Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами.
Углы с соответственно параллельными или соответственно перпендикулярными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180º.
Для углов с соответственно параллельными сторонами справедливо:
Если стороны a и b одного угла соответственно параллельны сторонам a1 и b1 другого угла и одинаково направлены, т.е. лежат в одной полуплоскости относительно прямой, которая проходит через вершины углов, то углы равны: a||a1, b||b1 и a↑↑a1, b↑↑ b1 ⇒ ∠ab=<a1b1.
Если стороны a и b одного угла соответственно параллельны сторонам a1 и b1 другого угла, а стороны a и b одного угла направлены противоположно сторонам a1 и b1 другого угла, то углы равны.
Если стороны a и a1 одного угла параллельны и одинаково направлены, а стороны b и b1 параллельны и противоположно направлены , то углы дополняют друг друга до развернутого.
Для углов с соответственно перпендикулярными сторонам справедливо:
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны или дополняют друг друга до развернутого (составляют в сумме 180º).
Измерение углов.
Мерой угла служит величина поворота луча ОА вокруг точки О как центра вращения.
Угол, полученный при одном полном обороте луча ОА, называют полным углом. При этом точка А опишет окружность радиуса ОА.
Половина полного угла — развернутый угол, четверть полного угла — прямой угол.
Для измерения углов используют градусы и радианы.
Имея меру величины угла, можно измерять углы, сравнивать их, складывать и вычитать.
Градусную или радианную меру называют величиной угла.
Градусная мера.
Углы измеряют в градусах.
Основной единицей измерения углов берется угол в один градус.
Единичный угол — это угол, составляющий 1⁄180 часть развернутого угла или 1⁄360 часть полного угла . Его величина названа градусом и обозначается 1°.
Дуга центрального угла в 1º составляет 1⁄360 часть дуги окружности.
В полном обороте 360º — полный угол.
При измерении угла и определяется сколько раз в нем умещается угол в 1º.
Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в данном угле.
Основные градусные единицы измерения углов:
градус — 1° = 1⁄180 развёрнутого угла;
минута — 1′ = 1⁄60 часть градуса;
секунда — 1″ = 1⁄60 часть минуты.
Угол в 30 градусов, 6 минут, 12 секунд обозначается 30°6’12»; прямой угол равен 90°. Острый угол меньше 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°. Сумма двух смежных углов равна 180°.
Моряки используют единицу 1 румб = 11°15′.
Равные углы имеют равные градусные меры;
Угол, который меньше, имеет меньшую градусную меру.
Развернутый угол равен 180°.
Неразвернутый угол меньше 180°.
Основное свойство величины угла
Если луч делит угол на два угла, то величина всего угла равна сумме величин этих углов: ∠AOB + ∠BOC= ∠AOC.
Если угол разделен лучами на несколько углов, то его градусная мера равна сумме градусных мер всех углов, на которые он разбит.
Иногда рассматривается угол с нулевой градусной мерой.
Радианная мера.
Наряду с практическим градусным измерением углов, в теоретических вопросах, в частности в тригонометрии, применяется измерение углов в радианах.
Величина угла α — центрального для произвольной окружности — измеряется отношением длины дуги\( l \), на которую этот угол опирается, к длине радиуса этой окружности, \( r \):
\[ α=l:r \]
За единицу измерения принимается радиан. Радиан обозначения не имеет; угол, равный α радианов, обозначается просто «α».
Радиан
— это величина центрального острого угла, дуга которого равна по длине радиусу окружности.
Значение числа π — отношение длины окружности к ее диаметру.
Поворот луча ОА на 1радиан — это поворот, при котором точка А описывает дугу, равную по длине отрезку ОА. Следовательно, в полном обороте 2π радианов.
В частности, \( 360º = 2\pi \), \( 180º =2π \), \( 90^{\circ}= \frac{\pi}{2} \), \( 270^{\circ}= \frac{3\pi}{2} \).
В полном обороте 360º или 2π радиан, что составляет полный угол.
Связь между градусной и радианной мерой угла.
1 радиан = \( \frac{180º}{π} \)≈ 57º17’44»,8 или 57º,2958
Для измерения углов применяют разные измерительные инструменты, где простейший — транспортир.
Специальные приборы для измерения углов создавались в древние времена для астрономических наблюдений, для определения положения солнца и звезд на небе (измерение углов, под которыми они видны). Первый инструмент — астролябия была изобретена в 180-125 гг. до н.э., затем был изобретен квадрант, а в настоящее время для геодезических работ используется теодолит, в артиллерии — буссоль, в морском деле — секстант.
Равенство углов.
Равенство фигур можно решить наложением. Угол — это часть бесконечной полуплоскости, поэтому сравнение углов сводится к сравнению фигур ограниченных размеров.
Под равными углами понимают те углы, которые можно наложить друг на друга так, чтобы стороны углов совпали (аналогично определению равных отрезков).
Равенство углов записывается в виде ∠АОВ = ∠А1О1B1 или ∠О = ∠О1.
Свойство равных углов (связь между равными углами и их величинами):
Величины (градусная или радианная мера) равных углов равны.
Величина суммы углов равна сумме их величин.
Углы называются равными, если у этих углов найдутся равные соответственные хорды.
Соответственные хорды ОА = О1А1 и ОВ = О1В1
Углы ∠АОВ и ∠А1О1B1 равны, если равны соответственные хорды АВ и А1В1.
Аксиома (свойство равных углов).
Соответственные хорды равных углов равны.
Сравнение углов.
Всякие два угла можно сравнивать между собой. Помните, что стороны угла — это лучи, а не отрезки, поэтому длины сторон не влияют на величину угла. Важна величина раствора лучей, образующих угол.
Два угла равны между собой, если их можно совместить наложением.
Если при совмещении вершин угла, один угол оказывается внутри другого, то он меньше второго угла.
Любой неразвернутый угол является частью развернутого, а следовательно, меньшим по размеру.
Все развернутые углы равны.
Биссектриса угла.
Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит этот угол на два равных угла.
Биссектриса — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
«Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.»
Свойство биссектрисы
Каждая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла (или продолжения сторон).
Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, принадлежит биссектрисе.
Любая точка биссектрисы угла, кроме его вершины, является центром окружности, касающейся сторон этого угла.
Биссектрисы вертикальных углов составляют продолжение друг друга.
Биссектриса угла является осью симметрии самого угла, а также угла, образованного продолжением его сторон (см. вертикальные углы)
