Порядок действий в выражениях.
Результат вычислений при выполнении нескольких действий зависит не только от чисел, но и от порядка выполнения операций в выражении. Чтобы избежать неоднозначность результатов, условились выполнять действия в выражений в определенном порядке.
Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень делят на три ступени. Сначала выполняются действия 3-й ступени (возведение в степень, извлечение корня), потом 2-ой ступени (умножение и деление), потом 1-ой ступени (сложение и вычитание):
- Возведение в степень и извлечение корня — действия третьей ступени.
- Умножение и деление — действия второй ступени.
- Сложение и вычитание — действия первой ступени.
Для изменения этого порядка используются скобки.
Действия в скобках выполняются первыми.
Если в выражении (без скобок) встречаются действия одной ступени, например, арифметических операций сложения и вычитания, то они выполняются в том порядке, в котором записаны, слева направо.
Примеры:
15-2+6-1= 13+6-1=19-1=18;
15 • 2 : 6 = 30:6= 15.
Действия в скобках.
Скобки используются для изменения порядка вычислений.
Если в выражении встречаются скобки, то сначала выполняют действия, заключенные в скобках, потом остальные действия в соответствии с правилами.
Кроме обычных скобок «( )» , могут использоваться квадратные «[ ]» и фигурные скобки «{ }».
Если выражения содержат вложенные скобки, то вычисления начинают с внутренних скобок, далее двигаясь к внешним скобкам, изнутри наружу.
Деление и умножение.
Если деление обозначено чертой, то его выполняют после вычисления выражений, стоящих в числителе и знаменателе.
\[ \frac{9\cdot 4^{2}}{2\cdot 6}=\frac{9\cdot 16}{12}=\frac{144}{12}=12 \]
Если в выражении без скобок встречаются умножение и деление, то они выполняются последовательно слева направо.
Например, 20 • 3 : 2 = 60: 2=30.
Порядок действий в выражениях, содержащих степени
Степень можно рассматривать как произведение, заключенное в скобки. Если в выражении присутствуют несколько операций возведения в степень, то они выполняются слева направо до выполнения умножения и деления, сложения и вычитания. При возведении в степень сначала выполняют действия в показателе степени, а потом само возведение в степень:
\[ 6^{3-1}=6^{2}=36 \]
\[ 2^{3^{2}}=2^{9}=512 \]
Изменить порядок действий можно с помощью скобок:
\[ (2^3)^{2}=8^{2}=64 \]
Если многократное возведение в степень, то начинать с вычисления самой внешней степени:
\[ 2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16} \]
Знак извлечения корня
рассматривается как запись в скобках, т.е. выражение под знаком корня выполняется в первую очередь.
\[ 3+\sqrt[]{5+11}=3+\sqrt{16}=3+4=7 \]
