Формулы сокращённого умножения.

Правила и формулы, позволяющие упростить преобразования выражений и вычисления.

Необходимо знать и уметь применять для быстрого получения результата!

• Формулы сокращённого умножения;
• выделение полного квадрата;
• домножение на сопряжённое выражение.

Формулы сокращённого умножения.

Квадрат суммы и разности.

Квадрат суммы.

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов первого и второго выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, т.е. трехчлен, представляющий собой полный квадрат:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

Примеры:

​\( (4a + 2)^2=16a^2 + 16a + 4 \)​

​\( (3a + 2b)^2=9a^2 + 12ab + 4b^2 \)​

Формулу легко можно вывести, выполнив умножение и приведение подобных слагаемых:

​\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b)=aa + ab + ba + bb=a^2 + 2ab + b^2 \)​

Квадрат разности

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов первого и второго выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений, т.е. трехчлен, представляющий собой полный квадрат:

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

Примеры:

​\( (4a — 2)^2  = 16a^2 — 16a + 4 \)​

​\( (3a — 2b)^2 = 9a^2 — 12ab + 4b^2 \)​

Если вы забыли формулу, то ее легко можно вывести, выполнив умножение и приведение подобных слагаемых:

​\( (a — b)^2=(a — b)(a — b)=aa — ab — ba + bb = a^2 — 2ab + b^2 \)​

Запомните верные равенства:

\[ (a — b)^2 = (b — a)^2 \]

\[ (a + b)^2 = (- b — a)^2 \]

Но:  \( a^2 — b^2  ≠  b^2 — a^2 \)

Квадрат трехчлена

Квадрат трехчлена равен сумме квадратов его членов плюс  удвоенные попарные произведения его членов:

\[ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \]

\[ (4a + 2 + b)^2=16a^2 + 4 + b^2 + 16a + 8ab + 4b \]

Формула квадрата трехчлена выводится аналогично формуле квадрата двучлена — просто перемножить, открыв скобки и приведя подобные члены выражения: ​

\( (a + b + c)^2=((a + b) + c)^2 = (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \)​

Квадрат суммы любого количества членов.

\[ \left ( a_{1}+a_{2}+…+a_{n}\right )^{2}={a_1{}}^{2}+{a_2{}}^{2}+…+{a_n{}}^{2}+2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+…+2a_{n-1}a_{n} \]

Пример:

​\( (a — b + 3c)^2 = a^2 + b^2 + 9c^2 — 2ab + 6ac — 6bc \)​

Подсказка: Как определить, что трехчлен является полным квадратом?

Если удвоенное произведение квадратных корней из двух членов трехчлена равно третьему члену, то такой трехчлен  — полный квадрат.

Примеры:

​\( 9a^2 + 12ab + 4b^2=(3a + 2b)^2 \)​ — полный квадрат, т.к.  ​\( 12ab=2·3a·2b \)​

\( 4a^4 + 4a^2 + 1=(2a^2 + 1)^2 \) — полный квадрат, т.к.  ​\( 4a^2=2·2a^2·1 \)​

Нельзя путать полные квадраты суммы и разности 

​\( a^2 + 2ab + b^2 \)​  и  \( a^2 — 2ab + b^2 \)

с неполными квадратами 

​\( a^2 + ab + b^2 \)​ и  \( a^2 — ab + b^2 \)

Куб суммы и разности

Куб суммы

Куб суммы двух выражений равен сумме кубов первого и второго выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение:

\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]

Формула выводится аналогично:

​\( (a + b)^3=(a + b)^2(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^2a + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3b^2a + b^3 \)​

Куб разности

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на втрое, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения:

\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]

Формула выводится аналогично:
​\( (a — b)^3=(a — b)^2(a — b) = (a^2 — 2ab + b^2)(a — b) = a^3 — a^2b — 2a^2b + 2ab^2 + b^2a — b^3 = a^3 — 3a^2b + 3b^2a — b^3 \)​

Можно записать следующим образом:

​\( (a — b)^3= a^3b^0 — 3a^2b^1 + 3b^2a^1 — a^0b^ 3 \)​, минус при нечетных степенях b.

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

\[ (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \]

Формула в таком виде  используется для разложения на множители:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

• Нельзя  путать разность квадратов ​\( a^2 — b^2=(a — b)(a + b) \)​ с суммой квадратов \( a^2 + b^2 \)​, для которой нет формулы!
• Различайте формулы разности квадратов \( a^2 — b^2=(a — b)(a + b) \)​ и формулы квадрата разности  ​\( (a — b)^2=a^2 — 2ab + b^2 \)

Сумма и разность кубов

Сумма кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на квадрат их разности.

\[ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 \]

В таком виде формула используется для разложения на множители :

\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]

Разность кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

\[ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \]

Для разложения на множители:

\[  a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Сумма и разность  в натуральной степени

\[ a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots -ab^{n-2}+b^{n-1} ) \]

где ​\( n=2k+1, k \)​— любое натуральное число

 

\[ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1} ) \]

где n — любое натуральное число.

Преобразование суммы четных степеней чисел\( a \) и ​\( b \)​:

\[ \begin{matrix} a^{2n}+b^{2n}=(a^n+b^n)^2-2a^nb^n\\ a^{2n}+b^{2n}=(a^n-b^n)^2+2a^nb^n \end{matrix} \]

где n — любое целое число.