Треугольники.

 Треугольником называется

фигура, образованная замкнутой ломаной, состоящей из трёх звеньев, т.е. треугольник — это n-угольник, где n=3: △ABC.

Треугольник имеет три вершины,  три стороны, три внутренних угла.
Вершины треугольника обычно обозначают большими буквами латинского алфавита (A, B, C), а противоположные им стороны теми же малыми буквами (a,b,c)/

Внутренние углы могут обозначаться по названию вершины (∠A, ∠B, ∠C) или  ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB, где средняя буква обозначает вершину угла, или α, β, γ.

Внешние углы — α₁, β₁, γ₁ (на рисунке пунктиром показаны  пары вертикальных углов). Внешний угол треугольника при данной вершине —  угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине ( α, β, γ) .

К элементам треугольника относят его стороны, углы, биссектрисы, медианы, высоты, радиусы вписанной и описанной окружностей.

Виды треугольников

Вид треугольника определяется по величинам углов  и наличию равных сторон  треугольника.

По углам.

Вид треугольника определяется по величине наибольшего внутреннего угла в сравнении с прямым углом.

• остроугольные — треугольники, у которых все углы острые (<90º);
• прямоугольные — треугольник, у которого один угол  прямой (=90º). У прямоугольного треугольника сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.
• тупоугольные —треугольник, у которого один угол тупой (>90º).

Свойства углов треугольников.

У любого треугольника сумма внутренних углов равна 180º  (равна развёрнутому углу, или двум прямым углам (90º+90º=180º))  или π радианов:

\[ \begin{matrix} \alpha +\beta+ \gamma = 180\circ =2d=\pi \\ \alpha_1 +\beta_1+ \gamma_1 = 360\circ =4d=2\pi \\ \alpha_1=\beta+\gamma, \beta_1=\alpha + \gamma, \gamma_1=\alpha +\beta\\ \end{matrix} \]

Следовательно, только один угол треугольника может быть прямым (=90º) или тупым (>90º),  другие два угла будут острыми(<90º).

1. У любого треугольника хотя бы два угла острые.
2. Всякий внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:

   \[ α_1=β+γ, \\β_1=α+γ, \\γ_1=α+β \]

3. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним:

   \[ α_1> β, α_1> γ, \\ β_1>α, β_1> γ, \\γ_1>α, γ_1> β\]

4. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы равны.
5. Если все углы треугольника равны, то это равносторонний треугольник. Обратно: если стороны треугольника одинаковы по длине, то все его углы одинаковы.
6. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º  (π/2 радианов).
7. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30º, то противолежащий углу катет составляет половину гипотенузы.
8. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45º (π/4 радианов).

По наличию равных сторон треугольники могут быть:

• Равносторонние (правильные) — треугольники, у которых все три стороны равны по длине. Равносторонние треугольники отличаются друг от друга только размерами, они имеют одинаковую форму. Равносторонний треугольник является частным случаем правильного многоугольника и обладает всеми его свойствами.
  

  Все углы равностороннего треугольника одинаковы. Верно и обратное: если углы треугольника одинаковы, то треугольник  — равносторонний.

  180º : 3 = 60º — величина углов равностороннего треугольника.

• Равнобедренные — треугольники, у которых две стороны имеют одинаковую длину; тогда эти стороны называют боковыми сторонами, а  третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.  В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Разносторонние — все треугольники, стороны которых имеют разную длину. Но при решении задач необходимо помнить:

Неравенства треугольника (для сторон).

Длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон, но больше их разности:

\[ \begin{matrix} a<b+c,&a>|b-c| & (a>b-c & или & a>c-b), \\ b<a+c,&b>|a-c| &(b>a-c & или & b>c-a), \\ c<b+a,&c>|a-b| & (c>b-a & или & c>c-a).\\ \end{matrix} \]

Соотношения между сторонами и углами.

1. Напротив бо́льшего угла лежит бо́льшая сторона. И наоборот, напротив бо́льшей стороны треугольника лежит бо́льший угол. Против равных сторон лежат равные углы, против равных углов — равные стороны.
2. Угол, лежащий против меньшей стороны, всегда острый.
3. В тупоугольном треугольнике наибольшая сторона лежит напротив тупого угла.
4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.
5. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30º, равен половине гипотенузы.
6. Прямоугольный треугольник, имеющий равные катеты, называется равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы в нем равны, каждый угол равен 45º.
7. Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами не равны, то против большего угла лежит и бо́льшая сторона.
8. Стороны и углы треугольника связаны между собой соотношения, называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов.

   1. Теорема косинусов

      \[ \begin{matrix} a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha \\ b^2=a^2+c^2-2accos\beta \\ c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma \end{matrix} \]

   2. Теорема синусов

      \[ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R \]

      где R — радиус описанной около треугольника окружности.

9. В произвольном треугольнике
   1. Квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на проекцию другой стороны на нее:

      \[ с^2=a^2+b^2-2ab_a=a^2+b^2-2ba_b \]

      

   2. Квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой стороны на нее:

      \[ с^2=a^2+b^2+2ab_a=a^2+b^2+2ba_b \]

      

10. В прямоугольном треугольнике.
    

    Теорема Пифагора.

    В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

    \[ c^2=a^2+b^2 \]

Если ∠С прямой, то проекция катетов друг на друга равна нулю:​\( a_b=b_a=0 \)​.

Важные линии треугольника.

Высота треугольника

— это перпендикуляр (​\( h_a,h_b,h_c \)​), опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. В треугольник три высоты: h_a, опущенная из вершины A на сторону a, h_b и h_c, проведенные соответственно из вершин B и C  на стороны b и c. Точка пересечения высоты и стороны треугольника называется основанием высоты.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром — точка О.

Важно помнить, что при решении различных задач используются длины высоты и стороны, на которую она опущена. Например, площадь треугольника:

\[ S=\frac{1}{2}ah_{a} = \frac{1}{2}bh_{b} =\frac{1}{2}ch_{c} \]

• В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри. Ортоцентр О лежит внутри треугольника.
• В тупоугольном треугольнике  две высоты (h_b и h_c), , опускаются на продолжения сторон b и c  (b и c образуют тупой угол треугольника ∠BAC), основания высоты (B2, C2) в этом случае леж;aт вне треугольника. Третья высота (h_a) находится внутри треугольника.  Ортоцентр О лежит вне треугольника.
• В прямоугольном треугольнике (∠A=90º) две высоты совпадают с катетами: h_b = c и h_c =b. Третья высота h_a опускается на гипотенузу a. Ортоцентр  совпадает с вершиной A прямого угла.
  

Высоты треугольника относятся как обратные длины сторон, к которым они соответственно проведены:

\[ h_a:h_b:h_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}= bc:ac:ab\\h_a=\frac{2S}{a} \]

Высоты треугольника выражаются через его стороны (через полупериметр треугольника):

\[ \begin{matrix}h_a=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}\\ h_b=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}\\ h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c} \\ p=\frac{1}{2}(a+b+c) \end{matrix} \]

Высоты связаны  с радиусом r вписанной и радиусом R описанной окружности:

\[ \begin{matrix} \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r}\\ h_a=\frac{bc}{2R}, h_b=\frac{ac}{2R}, h_c=\frac{ab}{2R} \end{matrix}\begin{matrix} \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r}\\ h_a=\frac{bc}{2R}, h_b=\frac{ac}{2R}, h_c=\frac{ab}{2R} \end{matrix} \]

Медиана треугольника

— отрезок (​\( m_a, m_b, m_c \)​), который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В треугольнике три медианы: AA₁, BB₁, CC₁, где точки A₁, B₁, C₁  — середины соответствующих сторон треугольника. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника и является его центром тяжести.

Точка пересечения медиан (М) делит каждую медиану в отношении 2:1  (больший отрезок прилегает к вершине): AM=2MA₁, BM=2MB₁, CM=2MC₁.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Два треугольника равновелики, если их площади равны.

Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Медианы можно выразить через стороны треугольника:

\[ \begin{matrix}m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\\ m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}\\ m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \end{matrix} \]

\[ m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2) \]

В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы: ​\( m_a=\frac{1}{2}a \)​

 

Средняя линия треугольника

— это отрезок, соединяющий середины двух сторон. В треугольнике три средние линии (A₁B₁, A₁C₁ B₁C₁), которые образуют «вписанный» треугольник A₁B₁C₁ , называемый серединным треугольником. 

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине:

\[ A1B1 ∥ c, A1B1= \frac{1}{2} c; \\ A1C1 ∥ b, A1C1 = \frac{1}{2} b;\\B1C1 ∥ a, B1C1 = \frac{1}{2} a. \]

Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему треугольник. Площадь отсекаемого треугольника относится к площади основного треугольника в отношении 1:4.

\[ \begin{matrix}\frac{S_{\triangle C_1BA_1}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\\ \frac{S_{\triangle B_1AC_1}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\\ \frac{S_{\triangle A_1CB_1}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}\end{matrix} \]

Три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника: △AC1B1, △C1BA1, △A1CB1, △C1A1B1

Биссектриса треугольника

— отрезок биссектрисы любого угла этого треугольника от вершины до пересечения с противоположной стороной. Всего у треугольника три биссектрисы, т.к. три угла. Все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая лежит всегда внутри треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

\[ \frac{AC_3}{C_3B}=\frac{b}{a}\\\frac{AB_3}{B_3C}=\frac{c}{a}\\\frac{BA_3}{A_3C}=\frac{c}{b}\\ \]

 

Биссектриса делит треугольник на два треугольника, площади которых пропорциональны прилежащим сторонам треугольника:

\[ \begin{matrix}\frac{S_{\triangle ABA_3}}{S_{\triangle AA_3C}}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\\ \frac{S_{\triangle ABB_3}}{S_{\triangle B_3BC}}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}\\ \frac{S_{\triangle AC_3C}}{S_{\triangle C_3BC}}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a} \end{matrix} \]

Точка пересечения биссектрис делит биссектрису на части в отношении

\[ \frac{AO}{OA_3}=\frac{c+b}{a}\\\frac{BO}{OB_3}=\frac{a+c}{b}\\ \frac{CO}{OC_3}=\frac{a+b}{c} \]

Биссектриса внешнего угла треугольника — отрезок биссектрисы соответствующего угла, соединяющий вершину с продолжением противоположной стороны треугольника.

Она пересекает продолжение противоположной стороны в точке F’, расстояния которой до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам.

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла треугольника взаимно перпендикулярны.

В каждом треугольнике биссектриса любого внутреннего угла лежит между соответствующими медианой и высотой:

\[ h_a≤l_a≤m_a\\h_b≤l_b≤m_b\\h_c≤l_c≤m_c \]

Серединный перпендикуляр

Серединным перпендикуляром треугольника называется прямая, перпендикулярная его стороне и делящая ее пополам.

Три перпендикуляра (​\( r_a, r_b,r_c \)​) к сторонам треугольника, проведенные через их середины, пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности О, т.е. окружности, проходящей через все вершины треугольника. В тупоугольном треугольнике это точка О лежит вне треугольника (на рисунке) , в прямоугольном треугольнике — на середине гипотенузы, в остроугольном — внутри треугольника.

Все биссектрисы и медианы всегда проходят внутри треугольника.

Две высоты тупоугольного треугольника проходят вне его, а две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.

---

Центр тяжести треугольника —  точка пересечения медиан. Лежит внутри треугольника.

Ортоцентр — точка пересечения  высот треугольника.  В прямоугольном треугольнике ортоцентр  совпадает с вершиной  прямого угла; в тупоугольном треугольнике ортоцентр  лежит вне треугольника; в остроугольном — внутри треугольника.

Центр вписанной в треугольник окружности —  точка пересечения биссектрис углов треугольника. Лежит внутри треугольника.

Центр описанной вокруг треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В тупоугольном треугольнике цент лежит вне треугольника , в прямоугольном треугольнике — на середине гипотенузы, в остроугольном — внутри треугольника

---

В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, опущенные на основание, а также перпендикуляр, проведенный через середину основания, совпадают друг с другом.
В равностороннем треугольнике  высота, медиана, биссектриса и серединный перпендикуляр совпадают для любой стороны, т.е. каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой..

В равностороннем треугольнике ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружностей совпадают.

Признаки равенства треугольников.

Два треугольника равны, если при наложении друг на друга они совместятся.

1. По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны и угол между ними одного треугольника  равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны: AB=A₁B₁, BC=B₁C₁ и ∠B=∠B₁ .
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то это треугольники равны: AB=A₁B₁, ∠A=∠A₁ и ∠B=∠B₁.
3. По трем сторонам: Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны: AB=A₁B₁, BC=B₁C₁ и  CA=C₁A₁.

Вписанная и описанная окружности.

Описанная около треугольника окружность

— окружность, на которой лежат все вершины треугольника.

Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Центр описанной вокруг треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В тупоугольном треугольнике цент лежит вне треугольника , в прямоугольном треугольнике — на середине гипотенузы, в остроугольном — внутри треугольника.

Центр описанной окружности.

Центр описанной вокруг треугольника окружности О (точка, равноудаленная от вершин треугольника) является точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника. R — радиус описанной окружности.

\[ R=\frac{abc}{4S} \]

Вписанная в треугольник окружность

— окружность

Центр вписанной в треугольник окружности —  точка, равноудаленная от сторон треугольника, следовательно это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Всегода лежит внутри треугольника.

Центр вписанной окружности.

Точка пересечения трех биссектрис треугольника является центром вписанной окружности.

Площадь  треугольника.

1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, опущенную на это основание.

   \[ S=\frac{1}{2}ah_{a} = \frac{1}{2}bh_{b} =\frac{1}{2}ch_{c} \]

2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

   \[ S=\frac{1}{2}absin γ\]

3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра p на радиус вписанной окружности r.

   \[ S=rp=\frac{1}{2}r(a+b+c) \]

4. Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности R.

   \[ S=\frac{abc}{4R} \]

5. Формула Герона

   \[ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}|\\ p=\frac{a+b+c}{2} \],

   где 2p — периметр треугольника, p — полупериметр.

• Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных линейных элементов: сторон, высот, медиан, биссектрис и т.д.
• Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.