Прямоугольники.

Прямоугольник — это выпуклый четырехугольник, у которого все углы прямые, это  параллелограмм с прямым углом.

Квадрат является частным случает прямоугольника, все стороны которого равны. Квадрат — правильный четырёхугольник.

Свойства прямоугольника.

1. Прямоугольник как частный случай параллелограмма обладает всеми свойствами параллелограмма.
   • Противоположные (противолежащие) стороны попарно равны: AB=CD, AD=BC.
   • Противоположные углы  попарно равны: ∠A= ∠C и ∠B= ∠D.
   • Диагонали (d₁=AC, d₂=BD) пересекаются и делятся точкой пересечения пополам:  AO=OC, BO=OD.
     

     ---

   • Суммы любых двух соседних углов параллелограмма равна 180º: ∠A +∠D=180º, ∠A +∠B=180º, ∠B +∠C=180º ,  и ∠C+∠D=180º.
   • Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника: △ABC = △ACD, △ABD = △BCD.
   • \( h_a=bsin\alpha \)
2. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов четырёх сторон:

   \[ \begin{matrix} d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2) \\ AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AB^2+BC^2) \end{matrix} \]

3. Диагонали прямоугольника равны: \( d=d_1=d_2 \):
   

   Связь между диагоналями и сторонами прямоугольника:

   \[ d= \sqrt{a^2+b^2 } \]

   

4. Серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника являются его осями симметрии (MN, KL).
5. Около прямоугольника всегда можно описать окружность. В квадрат как правильный многоугольник всегда можно вписать окружность.
6. Радиус описанной окружности\( R=\frac{d}{2} \).

Признаки прямоугольника.

1. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
2. Если в параллелограмме один уголь прямой, то это — прямоугольник.
3. Если в четырёхугольнике три угла прямые, то это — прямоугольник.

Площадь прямоугольника.

1. Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних сторон:

   \[ S=ab \]

2. Площадь прямоугольника равна половине произведения диагоналей d на синус угла φ между ними:

   \[ S=\frac{d^2}{2}sin φ\].