Степени. Формулы для запоминания.

Определения степеней для различных показателей и свойства степеней необходимо знать и уметь применять в вычислениях и преобразованиях выражений.

Определения.

1. \( a^{n}=\underset{n}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot…\cdot a}} \),  где ​\( a \)​– любое   действительное число,  n  ∈ N,  n>1
   1. ​\( 0^n = 0, n ∈ N \)​
2. ​\( n=1 →  a^1=a \)​.
3. ​\( a ∈ Q, a ≠ 0\),  то ​\( a^0 = 1 \)​. 0⁰ не определено!
   1. \( a^na^0=a^{n+0}=a^n \)
   2. ​\( a^n:a^0=a^{n-0}=a^n, n>0 \)​
   3. \( (a^0)^0=a^{0·0}=a^0=1 \)
   4. ​\( a^0b^0=(ab)^0=1 \)​
   5. ​\( \frac{a^0}{b^0}=(\frac{a}{b})^{0}=1,  b\neq 0 \)
4. ​\( a^{-n}= \frac{1}{a^{n}} , \)​, где ​ \( a ∈ Q,  a≠ 0,  n ∈ N. \)​,  0^-n не определено!
   1. \( (\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^{n} \)
   2. \( (\frac{a}{b})^{-1}=(\frac{b}{a})^{1}=\frac{b}{a} \)
   3. \( \frac{a^n}{a^n}=a^(n-n)=a^0=1 \)
   4. \( \frac{a^n}{a^k}=\frac{1}{a^{k-n}} = a^{-(k-n)}= a^{n-k}, n<k,  a≠0 \)
5. Стандартный вид числа: ​\( α = a ·10^n,  где 1< a <10,  n ∈Z \)​

Свойства степеней.

1. Основное свойство степени.: ​\( a^na^k = a^{n+k}, k, n ∈ N \)​.
2. ​\( a^n : a^k  = a^{n-k}, a ≠0, \)​ или ​\( \frac{a^n}{a^k}=a^{n-k}, a ≠0 \)​, n > k, k, n ∈ N.
3. ​\( (a^n)^k = a^{nk}, k, n ∈ N \)​.
4. ​\( (ab)^n = a^nb^n, n ∈ N \)​⇒ ​\( a^nb^nс^n=(abс)^n \)​.
5. ​\( (a:b)^n  = a^n : b^n, \)​ или ​\( (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}} \), где a, b ∈ Q,b ≠ 0, n ∈ N.