Свойства корней более подробно рассмотрены в статье «Корни», они тесно связаны со степенями. Вы можете посмотреть видео о применении свойств степеней и корней. Здесь приведены формулы, которые необходимо помнить и уметь применять при вычислении выражений.
- \( a>0, n∈ N \)⇒ Арифметический корень n-степени из а есть единственное положительное решение уравнения \( x^n=a \):
\[ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \]
- \( a<0 \)⇒ Для отрицательных a корень n-степени из а определяется только при нечетном \( n=2k-1, k\in N \): \( a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \) — единственное действительное (отрицательное) решение уравнения \( x^n=a \)
- Корень n-ой степени из нуля, \( a=0, n\in N \):
\( 0^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{0}=0 \).
- \( a≥0, b≥0, c>0, a,b,c ∈ Q, m, n, k ∈N \):
По определению степени с рациональным показателем:\[ \begin{matrix} a^{\frac{n}{m}}=(a^{\frac{1}{m}})^{n}=(a^{n})^{\frac{1}{m}} \\ a^{-\frac{n}{m}}=\frac{1}{(a^{\frac{n}{m}})}, (a\neq 0) \\ \end{matrix} \]
\[ \begin{matrix} a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}=(\sqrt[m]{a})^n \\ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \\ a^{-\frac{n}{m}}=\frac{1}{\sqrt[m]{a^n}} \end{matrix} \]
- Корень n-ой степени из частного, \( c\neq 0 \):
\[ \sqrt[n]{\frac{a}{c}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{c}} (c\neq 0) . \]
- Корень из корня:
\[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a} \].
- Сокращение показателя корня и показателя степени подкоренного выражения на общий делитель:
\[ \sqrt[mk]{a^{nk}}=\sqrt[m]{a^n} \]
- Вынесение показателя степени подкоренного выражения из-под корня:
\[ \sqrt[m]{a^{n}}=(\sqrt[m]{a})^n \]
- Произведение корней разной степени:
\[ \sqrt[m]{a}\sqrt[n]{a}=\sqrt[mn]{a^{n+m}} \]
- Частное корней разной степени, \( c\neq 0 \)::
\[ \frac{\sqrt[m]{c}}{\sqrt[n]{c}}=\sqrt[mn]{c^{n-m}} (c\neq 0) \]
- Корень n-ой степени из частного, \( c\neq 0 \):
