Факториал.

Факториал — это символ, сокращенное обозначение произведения n первых чисел натурального ряда 1·2·3·…·n. Обозначается n!  и читается «эн факториал«.

\[ n!=1\cdot2\cdot3\cdot\text{…}\cdot n \]

При n = 1  в произведении остается одно число 1, поэтому 1! = 1.

При n = 0 выражение 1·2·3·…·n ​лишено смысла, поэтому в качестве определения приняли , что  0! = 1. Тогда ​\( (n+1)!=(n+1)\cdot n! \text { выполняется при } n=0 \).​

Факториал n!:

n! = 1·2·3·…·(n-2)·(n-1)·n

1! = 1

0! = 1

Пример.

\[ \frac{100!}{98!}= \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{…}\cdot 98\cdot 99\cdot 100}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{…}\cdot 98}=99\cdot 100=990 \]

Факториал используется в формулах комбинаторики.

Например, n различных предметов можно выложить в ряд ​\( n\cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdot \text {…}\cdot 2 \cdot1 \) разными способами, т.е. n! способами.​

Из  n элементов можно составить только одно сочетание из n элементов,  \( C^n_n=1 \). Формула  ​\( C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)  для вычисления числа сочетаний  дает 1 только тогда, когда 0! принимают за 1, поэтому и приняли, что  0! = 1. 

Таблица значений факториала: 0!,…, n!

Где встречается факториал?

Факториал используется в комбинаторике для подсчета перестановок, размещений, сочетаний и в других вычислениях.

• Число всех перестановок без повторений P(n) из n различных элементов равно 
  

  \[ P(n) =1\cdot2\cdot3\cdot\text{…}\cdot n \]

• Число перестановок  с повторениями из n элементов,  среди которых  есть p элементов одного вида,  q элементов другого вида, r третьего вида и т.д.
  

  \[ P(p,q,r,..) = \frac{n!}{p!q!r!…} \]

• Число размещений без повторений:
  

  \[ A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \]

• Число различных между собой сочетаний из n элементов по k без учета порядка элементов :
  

  \[ C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]