Прямоугольные треугольники.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

— это треугольник, один из углов которого прямой (γ=90º).

Два его других угла (α, β) являются острыми  и  их сумма равна 90º (α+β=90º), т.к.  сумма всех углов треугольника  равна 180º ⇒ 180º — 90º (прямой угол) = 90º — сумма двух острых углов.

Гипотенуза c

— сторона AB, которая лежит напротив прямого угла γ;

катеты b, c

— две остальные стороны AC, CB.

По свойствам среди прямоугольных треугольников выделяют:

• равнобедренный прямоугольный треугольник;
• прямоугольный треугольник с углом в 30º.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

— прямоугольный треугольник, у которого катеты равны (a=b).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны 45º (α=β=45º), т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º (α+β=90º), кроме того острые углы равны, следовательно каждый угол равен 45º.

Если острый угол прямоугольного треугольника равен 30º, то другой острый угол прямоугольника равен 60º.

Если видите, что у прямоугольного треугольника углы 30º, 45º и 60º, то  вспоминайте важные свойства таких треугольников!

Решение всяких треугольников, т.е. определение  сторон, углов и других элементов треугольника , если заданы некоторые из них, обычно сводится к решению прямоугольных треугольников.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора

Стороны прямоугольного треугольника (катеты a, b и гипотенуза с) связаны соотношением: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[ c^2=a^2+b^2 \]

1. Катеты прямоугольного треугольника являются высотами треугольника. Напомним, что три высоты любого треугольника пересекаются с одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла C. Высота, опущенная на сторону c  треугольника, обозначается h_c.
2. Высота h_a вычисляется через стороны треугольника (для любого треугольника)

   \[ h_a=\frac{\sqrt{(p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a} \]

3. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу (Опустив перпендикуляр h_c на гипотенузу, получим проекции катетов a_c, b_c  на гипотенузу c.) :
   \( a_c:a=a:c\\b_c:b=b:c\\ или\\a^2=a_cc, b^2=b_cc \)
4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорционально между проекциями катетов на гипотенузу:
   \( b_c:h_c=h_c:a_c\\или\\h_c^2=a_cb_c \)

5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы.
   Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30º.

6. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Соотношения между сторонами и углами.

В прямоугольном треугольнике с углом α отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Числовое значение отношений двух  его сторон зависит от величины одного из острых углов.

Для того, чтобы  связать углы треугольника с его сторонами были введены тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника: синус угла α — sin α , косинус угла α — cos α , тангенс угла α — tg α, котангенс угла α — ctg α, секанс угла α — sec α, косеканс угла α — cosec α.

Синус угла α

— это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\[ sin α = \frac{BC}{AB}= \frac{a}{c}\]

Косинус угла α

— это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[ cos α = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}\]

Тангенс угла α

— это отношение противолежащего катета к прилежащему:

\[ tg α = \frac{BC}{AC}= \frac{a}{b} \]

Котангенс угла α

— это отношение прилежащего катета к противолежащему:

\[ ctg α = \frac{AC}{BC}= \frac{b}{c} \]

Секанс

— отношение гипотенузы к прилежащему катету

\[ sec α = \frac{AB}{AC}= \frac{c}{b} \]

Косеканс

— отношение гипотенузы к противолежащему катету

\[ cosec α = \frac{AB}{BC}= \frac{c}{a} \]

По отношению к углу β соответственно меняются названия функций:

\[ \begin{matrix} sin\beta =\frac{b}{c} & cos\beta =\frac{a}{c} \\ tg\beta =\frac{b}{a}& ctg\beta =\frac{a}{b} \\ sec\beta=\frac{c}{a} & cosec\beta =\frac{c}{b}\\ \end{matrix} \]

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30º, 45º и 60º.

Значения хорошо бы помнить наизусть и уметь выводить.

1. Углы 30º,60º:
   Катет, лежащий против угла 30º, равен половине гипотенузы ⇒\( \frac{a}{c} = \frac{1}{2} \)​,
   1. по определению \( sin α = \frac{a}{c} = sin 30º  ⇒ sin 30º =\frac{1}{2} \).
   2. по определению \( cos β = \frac{a}{c} = cos60º ⇒ cos 60º =\frac{1}{2} \).
   3. Из основного тригонометрического тождества ​\( sin^2 α +cos^2 α =1 \)​ следует:

      \[ cos30º=\sqrt{1-sin^230º}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}; \]

      \[ sin60º=\sqrt{1-cos^260º}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

2. Угол 45º . В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны и составляют 45º .
   1. Острые углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике α=β=45º, катеты равны: a=b.
      По теореме Пифагора

      \[ c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2=2b^2 ⇒ a = b =\frac{c}{\sqrt{2}} \]

      ⇒\( sin α = \frac{a}{c} = sin 45º  ⇒ sin 45º =\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}{2}}\).

   2. ⇒\( cos α = \frac{b}{c} = cos45º  ⇒ cos45º =\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}{2}}\).
   3. ⇒\( tg α = \frac{a}{b} = tg45º  ⇒ tg45º =1 .
   4. ⇒\( ctg α = \frac{b}{a} = ctg45º  ⇒ ctg45º =1 .

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Естественно, что все признаки равенства для любых треугольников (см. Треугольники) действуют и для прямоугольных треугольников.

1. По двум катетам: Катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника: CB=C₁B₁, CA=C₁A₁.
2. По катету и гипотенузе: Гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника: BA=B₁A₁ и CB=C₁B₁ или CA=C₁A₁.
3. По гипотенузе и острому углу: Гипотенуза и острый угол одного треугольника равные гипотенузе и острому углу другого треугольника: BA=B₁A₁, ∠B=∠B₁ или  ∠А=∠А₁ .
4. По катету и  острому углу: Катет и острый угол одного треугольника равны катету и соответственном углу другого треугольника: катет СB=С₁B₁ и угол ∠B=∠B₁ (прилежащий к катету угол) или ∠А=∠А₁(противолежащий к катету угол) или катет СА=С₁А₁ и угол ∠А=∠А₁ или  ∠B=∠B₁ .

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по общим формулам вычисления площади треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S=\frac{1}{2}ab \]