Трапеции.

Определения.

Трапеция —  это выпуклый четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции (b=AD, a=BC), две другие (AB, CD) — боковыми сторонами или боками.

Высота трапеции  (h=BK) — это расстояние между основаниями трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание (или его продолжение).

Средняя линия трапеции (c=EF) — это отрезок, соединяющий середины непараллельных боковых сторон трапеции.

Треугольник является предельнім случаем трапеции, когда одно основание переходит в точку —.   Рассматриваем △ABD.

Свойства любой трапеции.

1. Для трапеции  выполняются все свойства, общие для всех четырёхугольников.
2. Средняя линия трапеции.
   

   Свойство средней линии трапеции.

   Средняя линия трапеции c параллельна основаниям  c ∥ a, c ∥ b и равна их полусумме:

   \[ c=\frac{a+b}{2} \]

   Свойства трапеции сохраняются в треугольнике , как предельном случае трапеции, когда одно основание переходит в точку.   Рассматриваем △ABD.
   Средняя линия треугольника (EF₁) — линия, соединяющая середины E и F₁ сторон AB и ВD  параллельна стороне  треугольника AD и  равна ее половине:

   \[ EF_1=\frac{1}{2} AD\]

3. Сумма длин боковых сторон трапеции больше разности длин ее оснований:

   \[ AB+CD>|a-b| \]

4. Середины боковых сторон (точки К,N) и середины диагоналей трапеции (точки L,M) лежат на одной прямой.
5. Теорема о четырёх точках трапеции.
   

   Характерные точки любой трапеции:

   • точка пересечения диагоналей трапеции (O),
   • точка пересечения продолжений боковых сторон (S)
   • середины верхнего основания (K),
   • середина нижнего основания  (L).

   Замечательное свойство трапеции.

   Точка пересечения диагоналей трапеции (O), точка пересечения продолжений боковых сторон (S)  и середины оснований (K, L) лежат на одной прямой (SO).

   В частности:

   • В любой трапеции прямая (SO), проходящая через точку пересечения продолжения боковых сторон (S) и точку пересечения диагоналей (O), делит каждое из оснований (AD, BC) пополам.
   •  Точка пересечения продолжений боковых сторон (S) трапеции лежит на прямой, проходящей через середины оснований трапеции ((K, L) ).
   • Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции (O) и середину одного из оснований, делит другое основание пополам.
   • Точка пересечения диагоналей трапеции лежит на прямой, проходящей через середины ее оснований.
     

     Отрезок (MN), параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей (O) и соединяющий две точки на боковых сторонах (AB, CD),  делится точкой пересечения диагоналей пополам (MO=ON).

     Длина отрезка (MN) есть среднее гармоническое оснований трапеции:

     \[ MN=\frac{2ab}{a+b} \],

     где ​\( a=BC, b=AD \)​— основания трапеции.

6. Диагонали трапеции разбивают ее треугольники:
   • треугольники △BOC и △DOA, прилежащие к основаниям, подобны друг другу: △BOC∼△DOA
   • треугольники△AOB и △OCD, прилежащие к боковым сторонам, равновелики, т.е. имеют равные площади: ​\( S_{△OAB}=S_{△OCD} \).
     

     ---

   • треугольники△ABD и △ACD  равновелики;  треугольники△ABC и △BCD равновелики.
     

     ---

   • треугольники△AOD и △BOC  подобны, а их площади соотносятся как квадраты оснований AD и BC трапеции:

     \[ S_{△AOD}:S_{△BOC}=(AD)^2:(BC)^2 \]

     ---

7. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.
8. Окружность можно описать около равнобедренной трапеции.

Площадь трапеции.

Площадь трапеции равна  произведению полусуммы оснований на высоту

\[ S= \frac{a+b}{2}h\]

или  произведению средней линии c на высоту h:

\[ S=сh \]

Площадь любого четырехугольника

\[ S=\frac{1}{2}d_1d_2sin φ\]

где \( d_1, d_2 \)  — диагонали четырехугольника, φ — угол между ними.

Площадь четырехугольника, около которого можно описать окружность:

\[ S=\sqrt{\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )\left ( p-d \right )} \]

где \( a,b,c,d \)  — стороны четырехугольника,

​\( p=\frac{a+b+c+d}{2} \)​— полупериметр.

Формула подходит для равнобедренной трапеции, около которой можно описать окружность.

Виды трапеций.

Треугольник (ABD) является предельным случаем трапеции, когда одно из оснований обращается в точку (BC → B).

Равнобедренная трапеция

Равнобедренная или равнобочная (равнобокая) трапеция — это трапеция, боковые стороны которой равны, но не параллельны.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции.

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны: ∠A =∠D, ∠B=∠C.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны: AC=BD.
3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5. Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка:
   • Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований: ​\( AK=\frac{1}{2}(a-b) \)​;
   • проекция диагонали — полусумме оснований: ​\( KD=\frac{1}{2}(a+b) \)​.
6. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
   

   ---

7. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность: трапеция может быть вписана в окружность тогда и  только тогда, когда она равнобедренная.
8. Если центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции, лежит на основании трапеции, то ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
9. В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона трапеции равна ее средней линии. Диаметр этой окружности равен высоте трапеции: ​\( 2r=h \)​.
10. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то верно ​\( h^2=ab \)​.

Прямоугольная трапеция.

Трапеция — прямоугольная, если один из углов при основании равен 90º, т.е. одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям..

Окружность и трапеция

Описанная около трапеции окружность.

Около четырехугольника можно описать окружность только тогда, когда сумма его противоположных углов одинакова, равна 180º.

Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.

Теорема Птоломея.
В выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Для равнобедренной трапеции  ABCD:\( d^2=AD^2+AD·BC \)

Вписанная в трапецию окружность.

В четырехугольник можно вписать окружность только тогда, когда сумма его противоположных сторон одинакова.

1. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
2. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.

Подобие трапеций.

Многоугольники подобны, если

• равны углы при соответственных вершинах;
• соответственные стороны пропорциональны.

Трапеции подобны тогда и только тогда, когда подобны с одинаковым коэффициентом подобия треугольники, на которые трапеции разбиваются любой диагональю. Тогда выполняются все требования подобия многоугольников.

Дополнительные построения и свойства для решения задач.

Свойства, полезные для решения задач

• Если в трапеции провести диагональ АС и произвольную прямую, параллельную основаниям, пересекающую боковые стороны трапеции в точках L, N   и AC — в точке К, то образованные при этом две пары подобных треугольников  △АLK∼△АBC,  △CKN∼△CAD с коэффициентами подобия, сумма которых равна единице: ​\( \frac{AK}{AC}+\frac{AC}{AK}=1 \)​.

Дополнительные построения, которые наиболее часто используются.

Если в трапеции проведена биссектриса одного из углов, то где-то должен получится равнобедренный треугольник.

Трапеция легко достраивается до треугольника △ASD, где точка S — точка пересечения продолжения боковых сторон. Треугольники △ASD и △BSC подобны. Построение обычно используется в задачах, где заданы длины оснований трапеции или их отношение.

Через вершину  меньшего основания проводим прямую, параллельную боковой стороне:  CD ∥ AB. Трапеция разбивается на параллелограмм  ABCK и треугольник △KCD, каждый из которых определяется уже тремя элементами. Построение полезно, если какая-либо из этих фигур определена полностью.

Из вершин  меньшего основания опускаем две высоты, тогда  высоты равны BB1= CC1,  отрезок B1C1 равен отрезку-основанию BC, образуются два прямоугольных треугольника: △ABB1 и△C1CD, у которых одинаковая высота, равная при этом высоте трапеции

Проведем из вершины C меньшего основания BC прямую CK, параллельную диагонали BD до пересечения с другим основанием до пересечения в точке K. Получим △ACK, две стороны которого равны диагоналям трапеции AC и  BD (BD=CK),  а длина третьей стороны  AK равна сумме длин оснований трапеции (AK=AD+DK, DK=BD). Площадь трапеции  ABCD равна площади образованного △ACK.