Параллелограммы.

Параллелограмм ABCD —  это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны: AB∥CD, BC∥AD.

Параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

Любая из сторон параллелограмма может быть названа его основанием, тогда расстояние между этой стороной и стороной, лежащей против неё, называется высотой параллелограмма: h_a (AF и AF1 ) —  высота к основанию AD (a),  AF⊥ AD,  и h_b  —  высота к основанию CD (b), h_b⊥CD.

Сумма углов параллелограмма, как и сумма углов любого четырехугольника, равна 360º: ∠A +∠B +∠C+∠D=360º

Свойства параллелограмма.

1. Для параллелограмма справедливы все свойства и формулы, общие для любых четырёхугольников.
   

   ---

2. Противоположные (противолежащие) стороны параллелограмма попарно равны: AB=CD=b, AD=BC=a.
3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.
4. Суммы любых двух соседних углов параллелограмма равна 180º: ∠A +∠D=180º, ∠A +∠B=180º, ∠B +∠C=180º ,  и ∠C+∠D=180º.
5. Диагонали (d₁=AC, d₂=BD) параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам:  AO=OC, BO=OD. Точка O пересечения диагоналей  называется центром параллелограмма.
6. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.
7. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника: △ABC = △ACD, △ABD = △BCD.
8. Две диагонали разбивают параллелограмм на  четыре равновеликих треугольника (треугольники, площади которых равны):

   \[ S_{△AOB} = S_{△BOC}=S_{△COD} = S_{△AOD} \]

9. Биссектриса угла параллелограмма, отсекает от него равнобедренный треугольник.
10. Биссектрисы углов параллелограмма, прилегающих к одной его стороне, взаимно перпендикулярны:

    \[ l_A⊥l_B, l_A⊥l_D, l_B⊥l_C, l_C⊥l_D \]

    .

11. Биссектрисы  противолежащих углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой:

    \[ l_A∥l_C, l_B∥l_D \]

12. Высоты параллелограмма обратно пропорциональны его соответствующим сторонам:​\( h_a: h_b=b:a \)​.
13. Высоты параллелограмма, опущенные из любой его вершины, образуют угол, равный углу параллелограмма при смежной вершине: ∠FBK=∠BAD.
14. \( h_a=bsin\alpha \)
15. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов четырёх сторон:

    \[ d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)  \]

Связь между диагоналями и сторонами параллелограмма.

\[ d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2\left ( a^2+b^2 \right ) \]

Признаки параллелограмма.

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны четырехугольника попарно равны: AB=CD, AD=BC.
2. Противолежащие углы четырехугольника попарно равны: ∠A= ∠C и ∠B= ∠D.
3. Две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны: AB=CD, AB∥CD.
4. Диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам: AO=OC, BO=OD.

Площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна:

1. произведению основания на высоту к этому основанию:

   \[ S=ah_a  или  S=bh_b; \]

2.  произведению  произведению его соседних сторон на синус угла между ними:

   \[ S=absin\alpha , \alpha =\angle BAD; \]

3. площадь прямоугольника равна произведению  произведению двух его соседних сторон:\( S=ab, a=AD, b=BC \);
4. площадь ромба равна произведению его диагоналей: \( S=\frac{1}{2}d_1d_2, d_1=AC, d_2=BD \).

Параллелограмм и другие четырехугольники.

Ромб.

Этот параллелограмм — ромб, если

• диагонали параллелограмма перпендикулярны: AC⊥ BD;
•  диагонали параллелограмма делят его углы пополам, т.е. являются биссектрисами углов;
• все стороны равны: AB=BC=BD=DA.   Если в параллелограмме равны две непараллельные стороны: AD=AB, то все его стороны равны между собой.

Прямоугольник.

Если в параллелограмме один угол прямой, то и все остальные — прямые.
Этот параллелограмм — прямоугольник, если

• все углы прямые: ∠A=∠C=∠B= ∠D=90º;
• диагонали параллелограмма равны: AC=BD.

Стороны прямоугольника одновременно являются  его высотами: \( h_1=AB, h_2=BC. \).
Площадь параллелограмма-прямоугольника:\( S=ab \).

Квадрат.

Этот параллелограмм — квадрат, если

•  в параллелограмме все стороны равны, а все углы прямые: AB=BC=BD=DA; ∠A=∠C=∠B= ∠D=90º ;
• диагонали взаимно перпендикулярны и  равны: AC⊥BD, AC=BD;

Диагонали квадрата (\( d=d_1=d_2 \)) равны, взаимно перпендикулярны, точка пересечения  делит их пополам, и диагонали делят углы квадрата пополам,  т.е. образуют  со сторонами квадрата углы в 45º.
\( d^2=a^2+b^2 \)​ (​\( AC^2=AD^2+DC^2. \)​)

Если в параллелограмме проведена биссектриса одного из углов, то где-то должен получится равнобедренный треугольник.

Параллелограмм и окружности.

Вокруг параллелограмма тогда и только тогда можно описать окружность , когда он является прямоугольником.

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.