Квадраты.

Квадрат — выпуклый четырёхугольник,  параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые, т.е. равны друг другу.

Квадрат — прямоугольник, все стороны которого равны, или ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат — правильный четырёхугольник, т.к. все стороны и углы равны.

Свойства квадрата.

Квадрат одновременно является параллелограммом, прямоугольником и ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами и прямоугольника, и ромба.

1. Квадрат — правильный четырёхугольник.
2. Все углы квадрата прямые (=90º).
3. У квадрата есть четыре оси симметрии:
   • две, проходящие через середины противоположных сторон (как у прямоугольника)— два серединных перпендикуляра к сторонам;
   • две диагонали, проходящие через вершины противоположных углов (как у ромба).
4. Диагонали квадрата
   • равны,
   • взаимно перпендикулярны,
   • точка пересечения диагоналей делит их пополам,
   • диагонали являются биссектрисами углов и делят углы квадрата пополам,  т.е. образуют  со сторонами квадрата углы в 45º.
   • длины диагоналей и стороны квадрата связаны по формуле:

     \[ \begin{matrix} d=a\sqrt{2}\approx 1,414a \\ a=0,5\sqrt{2}d=0,707d \end{matrix} \]

5. В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности

   \[ r=\frac{a}{2} \]

6. Около квадрата можно описать окружность. Радиус описанной окружности

   \[ R=\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{d}{2} \]

Площадь квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату стороны или половине произведения диагоналей (как у ромба):

\[ S=a^2\\S=\frac{1}{2}d^2 \]