Ромбы.

Ромб —  выпуклый четырёхугольник, параллелограмм, все стороны которого равны: AB=BC=CD=DA.

Свойства ромба.

1. Для ромба выполняются все свойства параллелограмма:
   1. Противоположные углы параллелограмма попарно равны: ∠A= ∠C и ∠B= ∠D.
   2. Диагонали (d₁=AC, d₂=BD) параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам:  AO=OC, BO=OD.
   3. Суммы любых двух соседних углов параллелограмма равна 180º: ∠A +∠D=180º, ∠A +∠B=180º, ∠B +∠C=180º ,  и ∠C+∠D=180º.
   4. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника: △ABC = △ACD, △ABD = △BCD.
   5. \( h= asin\alpha \)
   6. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов четырёх сторон:

      \[ \begin{matrix} d_1^2+d_2^2=4a^2 \\ d_1=d_2=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2a^2}\end{matrix} \]

2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: BD⊥AC, т.е. угол между диагоналями равен 90º.
3. Диагонали ромба делят его углы пополам, т.е. являются биссектрисами соответствующих углов.
4. Диагонали ромба являются его осями симметрии.
5. В ромб можно всегда  вписать окружность. Вокруг квадрата (частный случай ромба) всегда можно описать окружность.
6. Высоты ромба равны: \(h= h_1=h_2 \) .
   

   ---

Признаки ромба.

1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
2. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, т.е. являются биссектрисами углов, то этот параллелограмм — ромб.
3. Параллелограмм, высоты которого равны, — ромб.
4. Четырёхугольник, у которого все стороны равны, — ромб.  Если углы прямые, то это квадрат.

Площадь ромба.

1. Площадь ромба равна  половине произведения  диагоналей:

   \[ S=\frac{1}{2}d_1d_2=ah \]

2. Площадь ромба произведению  квадрата стороны на синус угла:

   \[ \begin{matrix} S=a^2sin\alpha, \\ \alpha =\angle BAD, \alpha =\angle ABC \end{matrix} \]

3. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

   \[ s=\frac{1}{2}d_1d_2 \]